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qhhauhsz60
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柱的基本理論


問題: 解答: zhu de jiben lilun 柱的基本理論    elementary theory of column    elementary theory of column 柱  在軸向荷載作用下,由于荷載的偶然偏心,柱本身有初始彎曲,材質不均勻等原因,從加載開始時起即發生壓縮與彎曲的組合變形,即使材料遵循胡克定律,但柱的橫截面上的彎矩以及柱的側向位移(撓度)均不與荷載成線性關系。柱的性能的理論研究可按兩種不同類型的計算簡圖進行。在第一類簡圖中把柱視作本身有初始彎曲的桿或荷載有偏心的直桿,第二類簡圖則把柱視作理想中心壓桿,即認為桿是絕對直的、材料絕對均勻、荷載亦無任何偏心。    有初始彎曲的桿或偏心受壓直桿    有初始彎曲的桿或偏心受壓直桿 兩端鉸支的柱作為偏心受壓直桿時(圖1a   [偏心受壓直桿]    [偏心受壓直桿] )。根據小剛度桿的計算理論,任意橫截面上的彎矩為  =  (  +  ),   [kg1]    [kg1] 式中  為彎矩;  為荷載;  為偏心距;  為任意橫截面處桿的撓度。若桿的材料始終在線彈性范圍內工作,則由撓曲線近似微分方程     =-  =-  (  +  )可得桿的中點撓度  與荷載  有如下非線性關系:     [689-1]    [689-1] 式中  為彈性模量;  為慣性矩;  為桿長。圖1b   [偏心受壓直桿]    [偏心受壓直桿] 中的實線示出了上式所示的  -  關系;當  →   =     /   時,桿的撓度迅速增長,且以水平線   為漸近線。事實上,撓度較大時就不能利用曲率的近似式1/  =d   /d   ,亦即不能利用撓曲線近似微分方程     =-  。如果利用曲率的精確表達式,則  -  曲線將如圖 1b   [偏心受壓直桿]    [偏心受壓直桿] 中虛線所示。    理想中心壓桿    理想中心壓桿 把柱作為理想中心壓桿時(圖2a   [理想中心壓桿]    [理想中心壓桿] ),若在分析中對桿不給予任何干擾,則  -  曲線顯然為圖2b   [理想中心壓桿]    [理想中心壓桿] 中的鉛垂線    ;   [kg1]    [kg1] 假設桿受到微小的干擾而彎曲,則由曲率的精確表達式1/  =d  /d  所列出的微分方程為   [689-02]    [689-02] ,據此可求得  -  曲線如圖2b   [理想中心壓桿]    [理想中心壓桿] 中實線     所示。由此可知,對于理想的中心壓桿,   [kg1]    [kg1] 當荷載  低于臨界值   時桿保持直線形式,此時如果桿受到微小的干擾而彎曲,則干擾除去后桿即恢復原有的直線形式,即     時平衡的直線形式是穩定的。當  >   時,理想的中心壓桿有兩種可能的平衡形式;直線形式和彎曲形式;而直線形式的平衡是不穩定的,桿在任何微小的干擾作用下發生微彎后,就會繼續彎曲直至  達到曲線    上與  相對應的值。當  =   時,直線    在  點與曲線     分叉,平衡是隨遇的,微小的干擾除去后桿仍保持在干擾作用時的位置上。以上分析均假設材料始終在線彈性范圍內工作。事實上,當荷載達到如圖2b中  點對應的值時,由于桿中最大應力達到彈性極限而桿所能承受的荷載迅速減小,   [kg1]    [kg1] -  曲線將沿虛線   下降。這就是說,   [kg1]    [kg1] 細長的理想中心壓桿所能承受的最大荷載僅稍高于臨界荷載   [kg2]    [kg2] 。由于確定最大荷載需要冗長的計算,而確定臨界荷載比較簡單,所以在工程計算中,常把臨界荷載作為壓桿所能承受的最大荷載。  根據理想中心壓桿所得的臨界力稱為歐拉臨界力。當壓桿兩端為鉸支時,   =     /   。當端部約束條件不同時,柱的歐拉臨界力的計算公式可統一寫作     =     /(   )  式中  為與端部約束條件有關的長度系數,   稱為相當長度(有效長度)。將上式兩端除以柱的橫截面面積  所得的應力,稱為歐拉臨界應力     =     /(   )   =    /   式中   [690-4]    [690-4] 稱為柱的柔度,也稱為柱的長細比。  求臨界力和臨界應力的歐拉公式按其導出的條件,只適用于臨界應力   不超過材料的比例極限   ,即    /   ≤   的情況,也就是   [690-2]    [690-2] 即所謂細長柱的情況。對于     的中長柱和短柱,   [kg2]    [kg2] 常采用經驗公式計算臨界應力。    參考書目    參考書目 王啟德著,林硯田等譯:《應用彈性理論》,機械工 業出版社,北京, 1966。 (Chi-Teh Wang, Applied Elasticity, McGraw-Hill,New York,1953.) 奚紹中  
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